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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Hallar la función $f$ tal que
d) $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x+1}}$ y $f(1)=2$
d) $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x+1}}$ y $f(1)=2$
Respuesta
Usamos la sustitución $ u = 3x + 1$
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Nos queda $du = 3 \, dx$. Podemos expresarlo $dx = \frac{du}{3} $
Sustituimos en la integral:
$ f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{3} $
$ = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} \, du $
$ = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C $
$ = \frac{1}{3} \cdot 2 u^{1/2} + C $
$ = \frac{2}{3} u^{1/2} + C $
Revertimos la sustitución \( u = 3x + 1 \):
$ f(x) = \frac{2}{3} (3x + 1)^{1/2} + C $
Usamos el dato de enunciado \( f(1) = 2 \):
$ f(1) = \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 1 + 1} + C = 2 $
$ \frac{2}{3} \sqrt{4} + C = 2 $
$ \frac{2}{3} \cdot 2 + C = 2 $
$ \frac{4}{3} + C = 2 $
$ C = 2 - \frac{4}{3} $
$ C = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} $
$ C = \frac{2}{3} $
Entonces nos queda:
$ f(x) = \frac{2}{3} \sqrt{3x + 1} + \frac{2}{3} $