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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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5. Hallar la función ff tal que
d) f′(x)=13x+1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x+1}} y f(1)=2f(1)=2

Respuesta

Usamos la sustitución u=3x+1 u = 3x + 1
Nos queda du=3 dxdu = 3 \, dx. Podemos expresarlo dx=du3dx = \frac{du}{3}
Sustituimos en la integral:
f(x)=∫1u⋅du3 f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{3}

=13∫u−1/2 du = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} \, du

=13⋅u1/21/2+C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C

=13⋅2u1/2+C = \frac{1}{3} \cdot 2 u^{1/2} + C

=23u1/2+C = \frac{2}{3} u^{1/2} + C
Revertimos la sustitución u=3x+1 u = 3x + 1 :
f(x)=23(3x+1)1/2+C f(x) = \frac{2}{3} (3x + 1)^{1/2} + C
Usamos el dato de enunciado f(1)=2 f(1) = 2 :
f(1)=233⋅1+1+C=2 f(1) = \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 1 + 1} + C = 2

234+C=2 \frac{2}{3} \sqrt{4} + C = 2

23⋅2+C=2 \frac{2}{3} \cdot 2 + C = 2

43+C=2 \frac{4}{3} + C = 2

C=2−43 C = 2 - \frac{4}{3}

C=63−43 C = \frac{6}{3} - \frac{4}{3}

C=23 C = \frac{2}{3} Entonces nos queda:
f(x)=233x+1+23 f(x) = \frac{2}{3} \sqrt{3x + 1} + \frac{2}{3}
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